一、数制的概念

• 数制：数制是一种计数方法，是用数字符号和一定的规则表示数。比如用十个手指头计数就是一种数制。就是任何数制都有两个基本要素：基数和位权。
• 基数：数制中所使用数的个数，几进制就有几个基数。
• 位权：数制中某一位上的1表示的数值的大小。例如：十进制321，3的位权是100，2的位权是10，1的位权是1。

二、常见的数制

• 十进制（decimalism）：每一位可取0-9这10个数码，计数的基数位10，超过9要用多位数来表示。

手指十进制图

• 二进制（binary）：每一位可取0-1这2个数码，计数的基数位2，超过1要用多位数来表示。
• 八进制（octal）：每一位可取0-7这8个数码，计数的基数位8，超过7要用多位数来表示。
• 十六进制（hexadecimal）：每一位可取0-9，A，B，C，D，E，F这16个数码，计数的基数位16，超过F要用多位数来表示。

三、数制之间的转换

1、K进制转十进制

按权相加法展开成一个多项式，每项是该位的数码与相应的权之积，把多项式按十进制数的规则进行求和，所得结果即是该数的十进制。

例： [1101.01(2) = 12^3 + 02^2 + 12^1 + 12^0 + 02^{-1} + 12^{-2} = 13.25]

2、十进制转K进制

整数部分：十进制整数转换为K进制整数的方法是倒除法，即除K直至商为0，倒取余数。

例：[172(10) = 10101100(2)]

小数部分：十进制小数转换为K进制小数的方法是取整法，取小数部分循环乘以K直至为0，顺序取整数部分。

例：[0.625(10) = 0.101(2)]

3、二进制转八进制

整数部分：从右向左，二进制3位一组转成八进制。

例：[1 111 010 101 101(2) = 17255(8)]

小数部分：从左向右，二进制3位一组转成八进制。

例：[1 101 110.1011(2) = 156.54(8)]

4、二进制转十六进制

整数部分：从右向左，二进制4位一组转成十六进制。

例：[1 1110 1010 1101(2) = 1EAD(16)]

小数部分：从左向右，二进制4位一组转成十六进制。

例：[11110 1001.10111(2) = 1E9.B8(16)]

5、N进制转M进制

N进制先转成十进制，再转成M进制。

四、习题

1. 八进制 32.1 对应的十进制数是()。

{{ select(1) }}

• 24.125
• 24.250
• 26.125
• 26.250

2. 一个自然数在十进制下有 n 位，则它在二进制下的位数与() 最接近。

{{ select(2) }}

• 5n
• $n*log_2 10$
• $10*log_2 n$
• $10^n * log_2 10$

3. 二进制数 111.101 所对应的十进制数是()。

{{ select(3) }}

• 5.625
• 5.5
• 6.125
• 7.625

4. 设 X、Y、Z 分别代表三进制下的一位数字，若等式 XY+ZX=XYX 在三进制下成立，那么同样在三进制下，等式 XY*ZX=()也成立。

{{ select(4) }}

• YXZ
• ZXY
• XYZ
• XZY

5. 与十进制数 28.5625 相等的四进制数是()。

{{ select(5) }}

• 123.21
• 131.22
• 130.22
• 130.21

6. $(2008)_{10} + (5B)_{16}$的结果是()。

{{ select(6) }}

• $(833)_{16}$
• $(2089)_{10}$
• $(4163)_8$
• $(100001100011)_2$

7. 如果在某个进制下等式 7* 7=41 成立，那么在该进制下等式 12 * 12=() 也成立。

{{ select(7) }}

• 100
• 144
• 164
• 196

8. 下列四个不同进制的数中，与其他三项数值上不相等的是()。

{{ select(8) }}

• $(269)_{16}$
• $(617)_{10}$
• $(1151)_8$
• $(1001101011)_2$

9. 二进制 00101100 和 01010101 异或的结果是()。

{{ select(9) }}

• 00101000
• 01111001
• 01000100
• 00111000

10. 2 个 10 进制数 1111 和 1010 的异或运算结果的 10 进制表示是()。

{{ select(10) }}

• 101
• 3
• 1957
• 5

11. 下列不同数制表示的数中，最大的一个数是()。

{{ select(11) }}

• $(222. 1)_{10}$
• $(11011011. 1)_2$
• $(334. 1)_8$
• $(DC. 1)_{16}$

12. 二进制数 101.11 对应的十进制数是()。

{{ select(12) }}

• 6.5
• 5.5
• 5.75
• 5.25

13. 二进制数 1011 转换成十进制数是()。

{{ select(13) }}

• 10
• 13
• 11
• 12

14. 三进制1101(3) 转换成十一进制是()。

{{ select(14) }}

• 32(11)
• 33(11)
• 34(11)
• 35(11)

15. 某个进制下 6+5 的结果为 14，那么该进制下 6*5 的结果为()。

{{ select(15) }}

• 42
• 53
• 64
• 37